Il modello di Bohr dell’atomo di idrogeno

L’atomo di idrogeno

Il modello di Bohr dell’atomo di idrogeno, presentato nel 1912, si basava su due ipotesi:

- l’atomo di idrogeno è costituito da un protone ed un elettrone che gli ruota intorno attratto dalla forza elettrostatica;
- il momento angolare dell’elettrone può assumere solo i valori nh/2π con n=1,2,3…

Queste due ipotesi potevano essere tradotte in un sistema di due equazioni in due incognite (il raggio R dell’orbita dell’elettrone e la velocità v dell’elettrone). Risolvendolo, si trovano due risultati fondamentali:

- l’elettrone può trovarsi solo su poche orbite permesse e non in un punto qualunque dello spazio;
- l’energia dell’elettrone può assumere solo alcuni valori.


L’atomo di idrogeno è quello più semplice, essendo costituito solo da un protone positivo (carica +e) e da un elettrone negativo (carica -e) molto più leggero che gli gira intorno. Negli ultimi anni dell’800, diversi scienziati avevano studiato lo spettro di emissione dell’atomo di idrogeno, che si presentava come una sequenza di righe e non come uno spettro continuo:

hydrogen_emis_spect

Lo spettro di emissione dell’atomo di idrogeno, in cui si possono osservare alcune “righe”.

Secondo il fisico danese Niels Bohr, lo spettro di emissione era legato ai livelli energetici dell’elettrone. Ogni riga corrispondeva ad un “salto” da un livello energetico all’altro. Dato che solo alcuni salti (quelli corrispondenti alle righe dello spettro) sembravano permessi, Bohr ipotizzò che l’energia dell’elettrone fosse obbligata ad assumere solo alcuni valori discreti ben precisi.

Le ipotesi del modello di Bohr

Bohr presentò il suo modello dell’atomo di idrogeno nel 1912. Il modello era basato su due ipotesi:

IPOTESI 1: l’elettrone compie un moto circolare uniforme di raggio R intorno al protone, a cui è legato dalla forza elettrostatica:

F=\frac{kq_{1}q_{2}}{R^{2}}=\frac{ke^{2}}{R^{2}}.

IPOTESI 2: l’elettrone ha massa m e velocità v. Il momento angolare dell’elettrone (M=mvR) può assumere solo i valori

M=\frac{nh}{2\pi} con n=1,2,3,… .

L’analisi matematica del modello di Bohr

Da queste due ipotesi, si possono ottenere risultati importanti. Le due ipotesi possono essere tradotte in un sistema di due equazioni in due incognite (la velocità v e il raggio R). Ricordiamo che in un moto circolare uniforme l’accelerazione è data dalla formula a=\frac{v^2}{R}. Inoltre, la forza è uguale alla massa per l’accelerazione (F=ma). Dunque dall’Ipotesi 1 possiamo scrivere

\frac{ke^2}{R^2}=m\frac{v^2}{R}.

e semplificando R a destra e a sinistra otteniamo

\frac{ke^2}{R}=mv^2.

Dall’Ipotesi 2, invece, otteniamo l’equazione

mvR=\frac{nh}{2\pi}.

Unendo queste ultime due equazioni, otteniamo il seguente sistema, che dipende solo dalle variabili e R (tutto il resto è fatto da costanti).

\bigg\{\begin{array}{rl}\frac{ke^2}{R}=mv^2\\mvR=\frac{nh}{2\pi}\\ \end{array}

Da questo sistema possiamo calcolare il raggio R dell’orbita con il metodo della sostituzione. Ricaviamo infatti la velocità dalla seconda equazione:

mvR=\frac{nh}{2\pi}\Rightarrow v=\frac{nh}{2\pi mR}.

Sostituendo questa espressione di nella prima equazione del sistema, otteniamo

\frac{ke^2}{R}=m\frac{n^2h^2}{4\pi^2m^2R^2}.

In questa equazione compare solo l’incognita R. Dunque possiamo risolverla, ottenendo

R=\frac{n^2h^2}{4{\pi}^2mke^2},

che possiamo riscrivere come

R=n^2a_0, chiamando a_0=\frac{h^2}{4\pi^2mke^2}.

Quindi il raggio dell’orbita dell’elettrone dell’atomo di idrogeno può assumere solo i valori R=a_0,\;4a_0,\;9a_0,...

orbitali_bohr

Gli orbitali del modello di Bohr dell’atomo di idrogeno.

I livelli energetici dell’atomo di idrogeno

Se il raggio dell’orbita dell’elettrone può assumere solo alcuni valori, anche l’energia dell’elettrone sarà obbligata ad assumere solo alcuni valori. Infatti, l’energia dell’elettrone è data dalla somma di energia cinetica ed energia potenziale:

E=\frac{1}{2}mv^2-\frac{ke^2}{R}.

Ma avevamo già ottenuto la formula mv^2=\frac{ke^2}{R}.
Se la sostituiamo nell’espressione dell’energia cinetica, troviamo

E=\frac{1}{2}\frac{ke^2}{R}-\frac{ke^2}{R}=\frac{ke^2}{R}(\frac{1}{2}-1)=-\frac{1}{2}\frac{ke^2}{R}.

Sostituendo in questa formula l’espressione che abbiamo già trovato (R=n^2a_0), si ha

E=-\frac{1}{2}\frac{ke^2}{n^2a_0}=-\frac{1}{n^2}\frac{ke^2}{2a_0}.
Sostituendo al posto di ao la sua espressione completa, otteniamo i seguenti valori permessi per l’energia

E=-\frac{1}{n^2}E_0

in cui n=1,2,3,… e E_0=\frac{2\pi^2k^2e^4m}{h^2}.

Quindi l’energia di un elettrone può assumere solo i valori

E=-E_0,-\frac{E_0}{4},-\frac{E_0}{9},\cdots.

I livelli energetici e i salti da un livello all’altro, con emissione di fotoni.

About these ads

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...

Iscriviti

Ricevi al tuo indirizzo email tutti i nuovi post del sito.

%d blogger cliccano Mi Piace per questo: